Д
Люди — конечные существа. В нашем мозге ограниченное количество нейронов, и мы взаимодействуем с ограниченным количеством людей в течение нашей ограниченной жизни. И всё же люди обладают удивительной способностью мыслить бесконечно.
Эта способность лежит в основе доказательства Евклида о существовании бесконечного множества простых чисел, а также веры миллиардов людей в то, что их боги — это бесконечные существа, свободные от ограничений смертных.
Эти идеи были хорошо известны Папе Льву XIV, поскольку до того, как стать священником, он учился на математика. Путь Льва, вероятно, не был случайным, поскольку существует связь между математикой и теологией.
Бесконечность, несомненно, имеет центральное значение для обоих. Практически все математические объекты, такие как числа или геометрические фигуры, образуют бесконечные множества. А богословы часто описывают Бога как уникальное, абсолютно бесконечное существо.
Однако, несмотря на использование одного и того же слова, между тем, как математики и теологи представляют себе бесконечность, традиционно существовал огромный разрыв. С античности и до XIX века математики считали, что существует бесконечно много чисел, но, в отличие от теологов, решительно отвергали идею абсолютной бесконечности.
Идея примерно такова: конечно, существует бесконечно много чисел, поскольку мы всегда можем продолжать считать. Но каждое число само по себе конечно — бесконечных чисел не существует. Отвергается легитимность совокупности всех чисел как самодостаточного объекта. Ибо существование такой совокупности приводит к логическим парадоксам.
Парадокс бесконечного
Самый простой пример — это версия парадокса Галилея, которая приводит к кажущимся противоречивыми утверждениям о натуральных числах 1, 2, 3…
Во-первых, обратите внимание, что некоторые числа чётные, а некоторые — нет. Следовательно, чётных и нечётных чисел должно быть больше, чем просто чётных чисел 2, 4, 6… И всё же для каждого числа существует ровно одно чётное число. Чтобы убедиться в этом, просто умножьте любое заданное число на 2.
Но тогда не может быть больше чисел, чем чётных чисел. Таким образом, мы приходим к противоречивому выводу, что чисел больше, чем чётных чисел, и в то же время не может быть больше чисел, чем чётных чисел.
Из-за таких парадоксов математики на протяжении тысячелетий отвергали реальную бесконечность. В результате в математике использовалось гораздо более ограниченное понятие бесконечности, чем то, которое применялось теологами. Ситуация кардинально изменилась, когда математик Георг Кантор во второй половине XIX века представил теорию трансфинитных множеств.
Георг Кантор, математический бунтарь.
Радикальная идея Кантора заключалась в том, чтобы математически строго ввести абсолютную бесконечность в область математики. Это нововведение произвело революцию в этой области, создав мощную и объединяющую теорию бесконечности. Сегодня теория множеств обеспечивает фундамент математики, на котором строятся все остальные дисциплины.
Согласно теории Кантора, два множества — A и B — имеют одинаковый размер, если их элементы находятся в однозначном соответствии. Это означает, что каждый элемент A может быть соотнесён с уникальным элементом B, и наоборот.
Представьте себе группы мужей и жён в гетеросексуальном моногамном обществе. Можно заметить, что эти группы имеют одинаковый размер, даже если мы не можем сосчитать каждого мужа и каждую жену.
Причина в том, что брачные отношения являются отношениями «один к одному». Для каждого мужа существует единственная жена, и наоборот, для каждой жены существует единственный муж.
Используя ту же идею, мы видели выше, что в теории Кантора множество чисел — чётных и нечётных — имеет тот же размер, что и множество чётных чисел. То же самое можно сказать о множестве целых чисел, включающем отрицательные числа, и о множестве рациональных чисел, которые можно записать в виде дробей.
Наиболее поразительной особенностью теории Кантора является то, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. В частности, Кантор показал, что множество действительных чисел, которые можно записать в виде бесконечных десятичных дробей, должно быть строго больше множества целых чисел.
Множество действительных чисел, в свою очередь, меньше ещё более больших бесконечностей, и так далее. Чтобы измерить размер бесконечных множеств, Кантор ввёл так называемые трансфинитные числа.
Постоянно возрастающая последовательность трансфинитных чисел обозначается Алефом, первой буквой еврейского алфавита, мистическая природа которой исследовалась философами, теологами и поэтами.
Теория множеств и Папа Римский Лев XIII
Для Кантора, набожного лютеранского христианина, мотивация и обоснование его теории абсолютных бесконечностей были напрямую связаны с религией. Фактически он был убеждён, что трансфинитные числа были сообщены ему Богом. Более того, Кантор был глубоко обеспокоен последствиями своей теории для католической теологии.
Папа Лев XIII.
Папа Лев XIII, современник Кантора, призывал богословов сотрудничать с представителями современной науки, чтобы показать, что выводы науки совместимы с религиозной доктриной. В своей обширной переписке с католическими богословами Кантор изо всех сил старался доказать, что его теория не ставит под сомнение статус Бога как единственного реального бесконечного существа.
Напротив, он понимал, что его трансфинитные числа расширяют границы Божьей природы, что это «путь к престолу Божьему». Кантор даже написал письмо и несколько заметок на эту тему самому Льву XIII.
Для Кантора абсолютные бесконечности находились на стыке математики и теологии. Поразительно, что одна из самых фундаментальных революций в истории математики, введение абсолютных бесконечностей, была так тесно связана с религиозными вопросами.
Папа Лев XIV прямо заявил, что выбор папского имени был навеян именем Льва XIII. Возможно, среди бесконечного множества потенциальных причин этого выбора была и эта математическая связь.